Testando seus conhecimentos em Produtos Notáveis e Fatoração
(_*Produtos Notáveis*_) Produtos notáveis são multiplicações de polinômios que aparecem regularmente e que possuem padrões específicos. Ao reconhecer esses padrões, podemos realizar as multiplicações usando os produtos notáveis como "atalhos" para o cálculo. Os principais produtos notáveis são: 1- Quadrado da Soma de Dois Termos: * Fórmula: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 * Exemplo: (x+3)^2 = x^2 + 2 . x . 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 2- Quadrado da Diferença de Dois Termos: * Fórmula: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 * Exemplo: (y-5)^2 = y^2 - 2 . y . 5 + 5^2 = y^2 - 10y + 25 3- Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos: * Fórmula: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 * Exemplo: (x+4)(x-4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16 4- Cubo da Soma de Dois Termos: * Fórmula: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 * Exemplo: (x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2^2) + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 5- Cubo da Diferença de Dois Termos: * Fórmula: (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 * Exemplo: (y-1)^3 = y^3 - 3y^2(1) + 3y(1^2) - 1^3 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1 (_*Fatoração*_) Fatoração é o processo inverso dos produtos notáveis. E é a transformação de uma expressão algébrica em um produto de fatores. É como "desmontar" a expressão, buscando os termos que, multiplicados entre si, a gerariam. Os principais casos de fatoração são: 1- Fator Comum em Evidência: Os termos da expressão possuem um fator comum (número ou letra). * Exemplo: a^2b + ab^2 = ab(a+b) (o fator comum é ab) * Exemplo: 3x + 6y = 3(x+2y) (o fator comum é 3) 2- Agrupamento: Não há um fator comum a todos os termos, mas é possível agrupar os termos de dois em dois (ou mais) e encontrar fatores comuns nesses grupos. * Exemplo: ax + ay + bx + by * Agrupando: (ax + ay) + (bx + by) * Colocando os fatores comuns em evidência em cada grupo: a.(x+y) + b.(x+y) * Agora, (x+y) é o fator comum: (x+y)(a+b) 3- Trinômio Quadrado Perfeito: É o resultado de um "Quadrado da Soma" ou "Quadrado da Diferença". Se uma expressão tem a forma: a^2 ± 2ab + b^2, ela pode ser fatorada como (a ± b)^2. * Para identificar: ter três termos, dois dos termos devem ser quadrados perfeitos (a^2 e b^2), o termo do meio deve ser duas vezes o produto das raízes quadradas dos outros dois termos (2ab). 4- Diferença de Dois Quadrados: É o resultado de um "Produto da Soma pela Diferença". Se uma expressão tem a forma: a^2 - b^2, ela pode ser fatorada como (a+b)(a-b). * Para identificar: ter dois termos, ser uma subtração, ambos os termos serem quadrados perfeitos. 5- Soma de Dois Cubos: * Fórmula: a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) * Exemplo: x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 2^2) = (x+2)(x^2 - 2x + 4) 6- Diferença de Dois Cubos: * Fórmula: a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) * Exemplo: y^3 - 27 = y^3 - 3^3 = (y-3)(y^2 + 3y + 3^2) = (y-3)(y^2 + 3y + 9)
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Sabe-se que a2 – 2bc – b2 – c2 = 40 e a – b – c = 10 e que a, b e c são números reais. Então, o valor de a + b + c é igual a:
1
20
10
4
2
2
O número N = 2 002^2. 2 000 – 2 000.1 998^2 é igual a:
32.10^6
4.10^6
16.10^6
8.10^6
32.10^6
3
Fatorando-se a expressão x^4 – y^4 + 2x^3y – 2xy^3, obtém-se:
(x + y)^3 (x – y)
(x + y)^3 (x – y)
(x^2 + y^2)(x – y)^2
(x +y)^4
(x + y)^2(x – y)
4
A diferença entre os quadrados de dois números ímpares, positivos e consecutivos é 40.
[8, 14]
[3, 9]
[4, 10]
[11, 14]
[10, 15]
5
Simplificando a expressão representada acima, obtemos:
a2 + ab + b2
b – a
ab
a + b
a^2 + b^2
6
Sabendo que x, y e z são números reais e (2x + y – z)^2+ (x – y)^2+ (z – 3)^2 = 0, então x + y + z é igual a:
6
4
7
3
5
7
Fatorando completamente o polinômio x^9 – x em polinômios e monômios com coeficientes inteiros, o número de fatores será:
5
7
3
2
4
8
Se x^2(1 – y)^2 = y2(1 – x)^2 e x ≠ y, então x + y será:
2xy
2y
x^2 + y^2
xy
2
9
Em Matemática, verifica-se em várias situações uma correspondência entre um modelo algébrico e um modelo geométrico. Como exemplo, observe a figura acima. A área da figura anterior corresponde ao produto notável:
(a + b)(a – b)
(a + b)^2
(a – b)^2
(a + b)^3
(a – b)^3
10
Anselmo foi encarregado de calcular o valor da expressão A = 4 000.2062 – 4 000.2042, sem utilizar calculadora. Seu amigo Fernando recomendou a utilização de técnicas de fatoração, além do conhecimento dos produtos notáveis. Ao seguir o conselho de Fernando, Anselmo obteve:
3 280 000
1680 000
1 240 000
2 380 000
360 000
